Autorem prezentacji: dr Tomasz Masłowski
Seminarium było poświęcone omówieniu metod rozwiazywania równania Wegnera. Równanie to strukturalnie jest zbliżone do znanych z mechaniki kwantowej równań ruchu Heisenberga i występuje w wielu różnych działach fizyki, np. w fizyce ciała stałego, teorii informacji, elektrodynamice kwantowej czy chromodynamice kwantowej.
Równanie Wegnera jest przykładem unitarnej transformacji hamiltonianu, takiej że jego pochodna względem określonej zmiennej sprowadza się do komutatora hamiltonianu i zależnego od tej zmiennej generatora transformacji unitarnej. W wyniku rozwiązania tego równania otrzymujemy całą rodzinę hamiltonianów. Jednym z głównych problemów obliczeniowych jest pojawianie się wyrazów rozbieżnych oraz złożoność samego hamiltonianu, prowadząca do trudności z uzyskaniem rozwiązań analitycznych.
Dr Masłowski omówił najważniejsze metody otrzymywania rozwiązań równania Wegnera. Jedną z nich jest poddanie hamiltonianu ewolucji poprzez zmianę parametru w celu uzyskania częściowej diagonalizacji. W wyniku tej procedury istnieje możliwość znalezienia ujemnych wartości własnych, które korespondują ze stanami związanymi układu. Z kolei dodatnie wartości własne odpowiadają stanom rozproszeniowym. Przy rozwiązywaniu tego typu zagadnień stosuje się różnego rodzaju uproszczenia. Jednym z nich jest wybieranie z hamiltonianu macierzy mniejszego formatu oraz przekształcenie jej do postaci, w której rozwiązania mogą być znalezione numerycznie. Z punktu widzenia niezmienniczości rozwiązań istotne jest, aby modyfikacja hamiltonianu nie naruszyła unitarności zagadnienia.
W prezentacji omówiona została metoda ścisłego rozwiązania szczególnych przypadków równania Wegnera z wykorzystaniem generatora Mielke’go w postaci trójwymiarowej macierzy. W oryginalnym równaniu Wegnera generator jest określony jako komutator części diagonalnej hamiltonianu z całym hamiltonianem. Wykorzystując odpowiednią zamianę zmiennych oraz własność unitarności, można przekształcić równanie Wegnera w zbiór pięciu nieliniowych równań drugiego stopnia, albo w układ trzech równań różniczkowych drugiego rzędu. W najprostszych przypadkach równania takie można rozwiązać ściśle i mają one postać kombinacji funkcji eksponencjalnych. To zaś prowadzi do znalezienia wartości własnych hamiltonianu.
W dalszej części seminarium przedstawione zostały wyniki porównania rozwiązań numerycznych i znanych rozwiązań analitycznych równania Wegnera, wskazujące na dużą zgodność obu metod.
W prezentacji poruszone zostało także zagadnienie złożoności cząstek w chromodynamice kwantowej na przykładzie protonu. W miarę wzrostu energii oddziaływania protonów znacznie wzrasta ich stopień złożoności, tak że model protonu składającego się z trzech kwarków musi wówczas zostać zastąpiony modelem bardzo wielu cząstek (partonów), których oddziaływanie wymaga uwzględnienia interakcji pomiędzy kwarkami i gluonami. Możliwość znajdowania rozwiązań zagadnień własnych w tak złożonych problemach jest jedną z motywacji wykorzystywania równania Wegnera do analizy procesów oddziaływania cząstek.
Na seminarium przedyskutowana została także własność stabilności rozwiązań i perspektywy otrzymania ścisłych rozwiązań w realnych zagadnieniach fizycznych. Uzyskanie dokładnych wyników w prostszych przypadkach daje nadzieję na sprowadzenie zagadnień złożonych do postaci, w której rozwiązania mogą być uzyskane numerycznie. Jest to istotne wszędzie tam, gdzie ze względu na złożoność zagadnień (równania piątego stopnia, macierze o bardzo dużej liczbie wymiarów) metody analityczne nie mogą być stosowane.
